اعداد فیبوناچی

زاد و ولد خرگوش‌ها_دنباله فیبوناچی

ریاضی شهرستان ملکان

مقدار خاصی که بستگی نزدیکی به دنباله فیبوناچی دارد، نسبت طلایی نامیده می‌شود. اگر هر عدد در دنباله فیبوناچی را به عدد پیش از خود تقسیم کنیم، مقدار این نسبتها بتدریج به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. در نمودار شکل زیر این نسبت در مورد هر کدام از اعداد فیبوناچی رسم شده است. همانطور که دیده می‌شود، این نسبت به یک مقدار حدی نزدیک می‌شود.

مقدار این نسبت را به سادگی می‌توان از یک معادله بدست آورد. شکل زیر طرز محاسبه این نسبت را نشان می‌دهد. همانطور که می‌بینید این نسبت معادل 1.618 بدست می‌آید که یونانیان آنرا با حرف Ф (فی) نشان می‌دهند.

یونانیان قدیم با این نسبت به خوبی آشنا بودند. معبد معروف پارتنون بهترین مثال از کاربرد این نسبت است. نسبت عرض به طول پنجره‌های مستطیل شکل معبد همگی برابر نسبت طلایی است. در اهرام مصر نیز این نسبت بخوبی رعایت شده است. طول هر ضلع قاعده هرکدام از اهرام به ارتفاع آن، معادل نسبت طلایی می‌باشد.

این نسبت در آناتومی بدن انسان نیز بکار رفته است. اگر قد خود را بر فاصله عمودی ناف تا نوک انگشتان خود تقسیم کنید، تقریبا عدد 1.618 را بدست می‌آورید. با تقسیم طول بازوی خود از نوک انگشت بزرگ تا بالای شانه، بر فاصله نوک انگشت بزرگ تا آرنج خود نیز به این نسبت می‌رسید.

عدد برابر است با نسبت ضلع یک پنج ضلعی منظم به طول قطر آن. اگر تمام قطرهای یک پنج ضلعی منتظم را بکشیم،‌ یک ستاره پنج پر بدست می‌آید که علامت بسیاری از پرچم‌های دنیاست. این ستاره، به نام ستاره داوود نیز خوانده می‌شود که نشان دیر صهیون است.

نسبت طلایی در طبیعت نیز بچشم می‌خورد. تعداد گلبرگ‌های گلها اعداد فیبوناچی اغلب برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.تعداد مارپیچ‌های گل آفتاب‌گردان نیز اعداد فیبوناچی برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.

این خواص شگفت انگیز باعث شده است تا برخی، اعداد فیبوناچی را حامل رمزهای پنهان طبیعت بدانند.

اعداد فیبوناچی

20 شهریور 1386 مدیر سایت مجموعه اصلی: شگفتی ها وزیبایی های ریاضی مجموعه: فصل اول : زیبایی در اعداد منتشر شده در 20 شهریور 1386 آخرین ویرایش در تاریخ 17 فروردين 1392 تعداد بازدید: 16821

اعداد و دنباله فيبوناچي چه طور اعدادي هستند و از کجا آمده اند؟

موضوعاتي که مانند ِ « اعداد فيبوناچي » در رياضيا نفوذ کرده باشند، زياد نيستند. اعداد فيبوناچي از يکي از کتاب هاي مهم ِ غربي به ما رسيده اند. نام اين کتاب « Liber abaci » است که در سال 1202 توسط « لئوناردو - Leonardo » از Pisa نوشته شده است. لئوناردو در ميان عواممردم به « فيبوناچي – Fibonacci , 1180-1250 » يا « پسر بوناچي » مشهور است.کتاب فيبوناچي ، اولين کتاب انتشار يافته در اروپا است که از اعداد عربي – هندي استفاده کرده است. اعداد هندي -عربي اعداد 0 تا 10 هستند که مبناي سيستم دهدهي هستند. اين کتاب همچنين موارد و مسائلي در مورد تولد خرگوش دارد. که اعداد فيبوناچي از همين مسائل آمده اند.

به يکي از مسائل اين کتاب توجه کنيد :

. « در پايان يک سال چند جفت خرگوش خواهيم داشت اگر : در ابتداي سال يک جفت خرگوش ِ بالغ داشته باشيم و هر جفت خرگوش ِ بالغ در هر ماه ، يک جفت نوزاد توليد کند که نوزادان از ماه دوم توانايي توليد نوزاد دارند . ؟ » .

« دنباله فيبوناچي » از همين مسأله تولد خرگوش به دست مي آيد.

براي حل اين مسأله ، جفت خرگوش هاي بالغ را A مي ناميم . اين جفت ها در پايان هر ماه يک جفت نوزاد، که آن ها را B مي ناميم، توليد مي کنند. نوزادانبعد از يک ماه بالغ مي شوند و يک جفت خرگوش A مي شوند که پس از آن توانايي توليد مثل دارند. به اين ترتيب به الگوي زير دست مي يابيم :

تعداد جفت هاي بالغ در ابتداي هر ماه از « دنباله ي فيبوناچي » پيروي مي کند :

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233

اگر فرض کنيم ، n مين جمله از « دنباله فيبوناچي » باشد آنگاه اين دنباله به صورت زير تعريف مي شود :

به زبان ساده دنباله اعداد فيبوناچي اين گونه است :

دو جمله ي اول اين دنباله برابر با 1 است و از جمله ي سوم به بعد ، هر جمله با مجموع دو جمله ي قبل از خودش برابر است.

شايد بپرسيد دنباله ي فيبوناچي جه ويژگي هايي دارد که اين قدر مهم جلوه مي کند ؟

يکي از ويژگي هاي دنباله فيبوناچي ، رابطه ي آن با « نسبت طلايي » است. براي پي بردن به اين مطلب ، نسبت ِ يک جمله از دنباله فيبوناچي را به جمله ي قبل از آن تشکيل مي دهيم. اين کسر ها به « نسبت طلايي » ميل مي کنند :

نسبت طلايي را در فصل چهارم از شگفتي ها و زيبايي هاي رياضي بررسي خواهيم کرد، اما خوب است بدانيد نسبت طلايي را با نمايش مي دهيم و رابطه ي زير نيز بين دنباله ي اعداد فيبوناچي و توان هاي نسبت طلايي برقرار است :

اگر به ضرايب ِ نسبت طلايي در سمت راست تساوي ها دقت کنيم متوجه مي شويم که اين ضرايب هملن اعداد ِ دنباله فيبوناچي هستند و ثابت ها ي جمعي نيز اعداد فيبوناچي هستند که يک اعداد فیبوناچی جمله ديرتر آمده اند .

باور نکردني است که دو چيز کاملا ً (به ظاهر ) متفاوت ، اين گونه رابطه ي تنگاتنگي با هم داشته باشند. در اين موارد است که رياضيات شگفت انگيز مي شود .

مهم‌ترین نسبت‌های فیبوناچی در تحلیل تکنیکال

لئوناردو فیبوناچی یکی از بزرگ‌ترین ریاضیدانان اروپا بود.

او در شهر پیزا در ایتالیا متولد شد، به همین دلیل به او Leonardo Pisano نیز گفته می‌شد.

او توانست به يک سري از اعداد دست پيدا کند که بعدها به‌عنوان پايه بسياري از مباحث رياضي استفاده شد.

نسبت‌های معروف فیبوناچی در بازارهای مالی و بورس کاربرد فراوانی برای تحلیل‌گران دارد.

fibonacci

معمای معروف زاد و ولد خرگوش‌ها

فیبوناچی تصمیم گرفت میزان زاد و ولد یک جفت خرگوش نر و ماده را بررسی کند.

او فرضیات زیر را در نظر گرفت:

• يک جفت خرگوش نر و ماده را در نظر بگیرید که همين الآن متولد شده‌اند.
• خرگوش‌ها پس از یک ماه بالغ می‌شوند.
• دوران بارداری خرگوش‌ها یک ماه است.
• وقتی که خرگوش ماده به سن بلوغ مي رسد حتما باردار می‌شود.
• خرگوش ماده در هر بارداري يک خرگوش نر و يک ماده بدنيا می‌آورد.
• فرض کنید که خرگوش‌ها هرگز نمی‌میرند.

یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه، یک جفت خرگوش نر و ماده جدید به دنیا می‌آورند.

اگر هیچ خرگوشی از بین نرود، در پایان یک سال چند جفت خرگوش متولد می‌شوند؟

او Fn را برابر با تعداد جفت‌های متولد شده در ماه‌ nام در نظر گرفت.

زاد و ولد خرگوش‌ها_دنباله فیبوناچی

دنباله فیبوناچی

نسبت‌های فیبوناچی

ویژگی جالبی که این دنباله دارد، این است که با تقسیم کردن اعداد این دنباله بر یکدیگر، نسبت‌هایی بدست می‌آیند که در تحلیل تکنیکال کاربرد فراوان دارند.

• نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱/۶۶
• نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱/۶
• نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱/۶۲۵
• نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱/۶۱۵
• نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱/۶۱۹
• نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱/۶۱۷
• …

همانطور که مشاهده می‌کنید، اعداد فیبوناچی با ادامه این روند به عدد ۱/۶۱۸ نزدیک می‌شویم.

این عدد یکی از نسبت‌های فیبوناچی مهم در تحلیل تکنیکال است.

• نسبت جمله هشتم به نهم برابر است با ۰/۶۱۷۶
• نسبت جمله نهم به دهم برابر است با ۰/۶۱۸۱
• نسبت جمله دهم به یازدهم برابر است با ۰/۶۱۷۹
• نسبت جمله یازدهم به دوازدهم برابر است با ۰/۶۱۸۰۵
• …

همانطور که مشاهده می‌کنید، با ادامه این روند به عدد ۰/۶۱۸ نزدیک می‌شویم.

به این عدد نسبت طلایی گفته می‌شود.

این نسبت در ریاضیات، هندسه، طبیعت و … به وفور مشاهده می‌شود.

• نسبت جمله هشتم به مجموع جمله‌های نهم و دهم برابر است با ۰/۲۳۵۹
• نسبت جمله نهم به مجموع جمله‌های دهم و یازدهم برابر است با ۰/۲۳۶۱
• نسبت جمله دهم به مجموع جمله‌های یازدهم و دوازدهم برابر است با ۰/۲۳۶۰
• …

همانطور که می‌بینید حاصل این تقسیم‌ها به عدد ۰/۲۳۶ میل می‌کند.

نسبت‌های دیگر فیبوناچی به همین ترتیب بدست می‌آیند.

مهم‌ترین نسبت‌های فیبوناچی

عبارتند از ۰/۶۱۸، ۱/۶۱۸، ۰/۳۸۲، ۲/۶۱۸، ۰/۲۳۶، ۰/۷۸۶، ۳/۶۱۸، ۴/۲۳۶، ۱/۲۷۲.